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  <title>一步步教你轻松学奇异值分解SVD降维算法 | 白宁超的官网</title>
  









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          <h2 class="post-title" itemprop="name headline">一步步教你轻松学奇异值分解SVD降维算法
              
            
          </h2>
        

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    <div class="post-body" itemprop="articleBody">

      
      

      
        <blockquote>
<p>摘要：奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用，SVD都是提取信息的强度工具。在机器学习领域，很多应用与奇异值都有关系，比如推荐系统、数据压缩（以图像压缩为代表）、搜索引擎语义层次检索的LSI等等。（本文原创，转载必须注明出处.）</p>
</blockquote>
<a id="more"></a>
<h1 id="奇异值分解原理"><a href="#奇异值分解原理" class="headerlink" title="奇异值分解原理"></a>奇异值分解原理</h1><h2 id="什么是奇异值分解-SVD）"><a href="#什么是奇异值分解-SVD）" class="headerlink" title="什么是奇异值分解(SVD）"></a>什么是奇异值分解(SVD）</h2><blockquote>
<p>奇异值分解</p>
</blockquote>
<p>假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得</p>
<script type="math/tex; mode=display">M_{m×n}=U_{m×m} \Sigma_{m×n} V^T_{n×n}</script><p>其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶非负实数对角矩阵；而\(V^T\)，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素\(Σ_i\),i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。（虽然U和V仍然不能确定。）</p>
<ul>
<li>V的列组成一套对\(M\)的正交”输入”或”分析”的基向量。这些向量是\(M^*M\)的特征向量。</li>
<li>U的列组成一套对\(M\)的正交”输出”的基向量。这些向量是\(MM^*\)的特征向量。</li>
<li>Σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的”膨胀控制”。这些是\( MM^* \)及 \( M^* M \)的特征值的非负平方根，并与U和V的行向量相对应。</li>
</ul>
<h2 id="矩阵知识"><a href="#矩阵知识" class="headerlink" title="矩阵知识"></a>矩阵知识</h2><blockquote>
<p>正交与正定矩阵</p>
</blockquote>
<ul>
<li>正交矩阵：若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量，则该矩阵为正交矩阵，且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0。 <a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5" target="_blank" rel="noopener">&gt;&gt; 正交矩阵知识扩展</a></li>
<li>正定矩阵：如果对于所有的非零实系数向量 \(z\)，都有 \(z^T A z &gt; 0\)，则称矩阵 \(A\) 是正定的。正定矩阵的行列式必然大于 0， 所有特征值也必然 &gt; 0。相对应的，半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。<a href="[&gt;&gt; 正交矩阵知识扩展](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9F%A9%E9%98%B5">&gt;&gt; 正定矩阵知识扩展</a></li>
</ul>
<blockquote>
<p>转置与共轭转置</p>
</blockquote>
<p>矩阵的转置（transpose）是最简单的一种矩阵变换。简单来说，若 $m\times n$ 的矩阵 $\mathbf M$ 的转置记为 $\mathbf M^{\mathsf T}$；则 $\mathbf M^{\mathsf T}$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵，并且 <script type="math/tex">\mathbf M_{i,j} = \mathbf M^{\mathsf T}_{j,i}</script>。因此，矩阵的转置相当于将矩阵按照主对角线翻转；同时，我们不难得出 <script type="math/tex">\mathbf M = \bigl(\mathbf M^{\mathsf T}\bigr)^{\mathsf T}</script>。</p>
<p><img src="https://i.imgur.com/fiYG6r9.gif" alt=""></p>
<p>矩阵的共轭转置（conjugate transpose）可能是倒数第二简单的矩阵变换。共轭转置只需要在转置的基础上，再叠加复数的共轭即可。因此，若以 $\mathbf M^{\mathsf H}$ 记矩阵 $\mathbf M$ 的共轭转置，则有 <script type="math/tex">\mathbf M_{i,j} = \overline{\bigl(\mathbf M^{\mathsf H}\bigr)_{j,i}}</script>。</p>
<blockquote>
<p>酉矩阵</p>
</blockquote>
<p>酉矩阵（unitary matrix）是一种特殊的方阵，它满足<script type="math/tex">\mathbf U\mathbf U^{\mathsf H} = \mathbf U^{\mathsf H}\mathbf U = I_n.</script> 酉矩阵实际上是推广的正交矩阵（orthogonal matrix）；当酉矩阵中的元素均为实数时，酉矩阵实际就是正交矩阵。另一方面，由于 <script type="math/tex">\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf M^{-1}\mathbf M = I_n</script>，所以酉矩阵 $\mathbf U$ 满足 $\mathbf U^{-1} = \mathbf U^{\mathsf H}$；事实上，这是一个矩阵是酉矩阵的充分必要条件。</p>
<blockquote>
<p>正规矩阵</p>
</blockquote>
<p>同酉矩阵一样，正规矩阵（normal matrix）也是一种特殊的方阵，它要求在矩阵乘法的意义下与它的共轭转置矩阵满足交换律。这也就是说，若矩阵 $\mathbf M$ 满足如下条件，则称其为正规矩阵：<script type="math/tex">\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M.</script>。显而易见，复系数的酉矩阵和实系数的正交矩阵都是正规矩阵。显而易见，正规矩阵并不只有酉矩阵或正交矩阵。例如说，矩阵 <script type="math/tex">\mathbf M = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</script> 即是一个正规矩阵，但它显然不是酉矩阵或正交矩阵；因为<script type="math/tex">\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix} = \mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M.</script></p>
<blockquote>
<p>谱定理和谱分解</p>
</blockquote>
<p>矩阵的对角化是线性代数中的一个重要命题。谱定理（spectral theorem）给出了方阵对角化的一个结论：若矩阵 $\mathbf M$ 是一个正规矩阵，则存在酉矩阵 $\mathbf U$，以及对角矩阵 $\mathbf \Lambda$，使得<script type="math/tex">\mathbf M = \mathbf U\mathbf \Lambda\mathbf U^{\mathsf H}.</script><br>这也就是说，正规矩阵，可经由酉变换，分解为对角矩阵；这种矩阵分解的方式，称为谱分解（spectral decomposition）。</p>
<hr>
<h1 id="SVD-的计算方法"><a href="#SVD-的计算方法" class="headerlink" title="SVD 的计算方法"></a>SVD 的计算方法</h1><h2 id="SVD-与特征值"><a href="#SVD-与特征值" class="headerlink" title="SVD 与特征值"></a>SVD 与特征值</h2><p>现在，假设矩阵 $\mathbf M_{m\times n}$ 的 SVD 分解是<script type="math/tex">\mathbf M = \mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H};</script>那么，我们有</p>
<script type="math/tex; mode=display">\begin{aligned}
\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} &{}= \mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H}\mathbf V\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf U^{\mathsf H} = \mathbf U(\mathbf\Sigma\mathbf\Sigma^{\mathsf H})\mathbf U^{\mathsf H}\\
\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M &{}= \mathbf V\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf U^{\mathsf H}\mathbf U\mathbf\Sigma\mathbf V^{\mathsf H} = \mathbf V(\mathbf\Sigma^{\mathsf H}\mathbf\Sigma)\mathbf V^{\mathsf H}\\
\end{aligned}</script><p>这也就是说，$\mathbf U$ 的列向量（左奇异向量），是 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 的特征向量；同时，$\mathbf V$ 的列向量（右奇异向量），是 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$ 的特征向量；另一方面，$\mathbf M$ 的奇异值（$\mathbf\Sigma$ 的非零对角元素）则是 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 或者 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$ 的非零特征值的平方根。</p>
<h2 id="如何计算-SVD"><a href="#如何计算-SVD" class="headerlink" title="如何计算 SVD"></a>如何计算 SVD</h2><p>有了这些知识，我们就能手工计算出任意矩阵的 SVD 分解了；具体来说，算法如下</p>
<ol>
<li>计算 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 和 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$；</li>
<li>分别计算 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 和 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$ 的特征向量及其特征值；</li>
<li>$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 的特征向量组成 $\mathbf U$；而 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$ 的特征向量组成 $\mathbf V$；</li>
<li>对 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 和 $\mathbf M^{\mathsf H}\mathbf M$ 的非零特征值求平方根，对应上述特征向量的位置，填入 $\mathbf\Sigma$ 的对角元。</li>
</ol>
<h2 id="实际计算看看"><a href="#实际计算看看" class="headerlink" title="实际计算看看"></a>实际计算看看</h2><p>现在，我们来试着计算 <script type="math/tex">\mathbf M = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}</script> 的奇异值分解。计算奇异值分解，需要计算 $\mathbf M$ 与其共轭转置的左右积；这里主要以 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$ 为例。<br>首先，我们需要计算 $\mathbf M\mathbf M^{\mathsf H}$，</p>
<script type="math/tex; mode=display">
\mathbf W = \mathbf M\mathbf M^{\mathsf H} = \begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}20 & 14 & 0 & 0 \\ 14 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.</script><p>现在，我们要求 $\mathbf W$ 的特征值与特征向量。根据定义 $\mathbf W\vec x = \lambda \vec x$；因此 $(\mathbf W - \lambda\mathbf I)\vec x = \vec 0$。这也就是说</p>
<script type="math/tex; mode=display">
\begin{bmatrix}
20 - \lambda & 14 & 0 & 0 \\
14 & 10 - \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\lambda
\end{bmatrix}\vec x = \vec 0.</script><p>根据线性方程组的理论，若要该关于 $\vec x$ 的方程有非零解，则要求系数矩阵的行列式为 0；也就是</p>
<script type="math/tex; mode=display">
\begin{vmatrix}
20 - \lambda & 14 & 0 & 0 \\
14 & 10 - \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\lambda
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
20 - \lambda & 14 \\
14 & 10 - \lambda \\
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
-\lambda & 0 \\
0 & -\lambda \\
\end{vmatrix}
= 0,</script><p>这也就是 $\bigl((20 - \lambda)(10 - \lambda) - 196\bigr)\lambda^2 = 0$；解得 <script type="math/tex">\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0</script>, <script type="math/tex">\lambda_{3} = 15 + \sqrt{221} \approx 29.866</script>, <script type="math/tex">\lambda_{4} = 15 - \sqrt{221} \approx 0.134</script>。将特征值代入原方程，可解得对应的特征向量；这些特征向量即作为列向量，形成矩阵</p>
<script type="math/tex; mode=display">\mathbf U = \begin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \\ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.</script><p>同理可解得（注意，$\mathbf M\mathbf M^{\mathsf T}$ 和 $\mathbf M^{\mathsf T}\mathbf M$ 的特征值相同）</p>
<script type="math/tex; mode=display">\mathbf V = \begin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \\ -0.91 & 0.40\end{bmatrix}.</script><p>以及 $\mathbf\Sigma$ 上的对角线元素由 $\mathbf W$ 的特征值的算术平方根组成；因此有</p>
<script type="math/tex; mode=display">\mathbf\Sigma = \begin{bmatrix}5.46 & 0 \\ 0 & 0.37 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.</script><p>因此我们得到矩阵 $\mathbf M$ 的 SVD 分解（数值上做了近似）：</p>
<script type="math/tex; mode=display">\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix}-0.82 & -0.58 & 0 & 0 \\ -0.58 & 0.82 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5.46 & 0 \\ 0 & 0.37 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-0.40 & -0.91 \\ -0.91 & 0.40\end{bmatrix}</script><h2 id="几何上的直观解释"><a href="#几何上的直观解释" class="headerlink" title="几何上的直观解释"></a>几何上的直观解释</h2><p>我们先来看一个例子。假设 $\mathbf M$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，而 $\mathbf x$ 是线性空间 $\mathbb K^n$ 中的向量，则$\mathbf y = \mathbf M\cdot\mathbf x$ 是线性空间 $\mathbb K^m$ 中的向量。这样一来，矩阵 $\mathbb A$ 就对应了一个从 $\mathbb K^n$ 到 $\mathbb K^m$ 的变换 $T: \mathbb K^n \to \mathbb K^m$，具体来说既是 $\mathbf x\mapsto \mathbf M\cdot\mathbf x$。这也就是说，在线性代数中，任意矩阵都能看做是一种变换。这样一来，我们就统一了矩阵和变换。</p>
<h2 id="SVD-场景"><a href="#SVD-场景" class="headerlink" title="SVD 场景"></a>SVD 场景</h2><blockquote>
<p>隐性语义检索</p>
</blockquote>
<p>信息检索-隐性语义检索（Lstent Semantic Indexing, LSI）或 隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）<br>隐性语义索引：矩阵 = 文档 + 词语<br>最早的 SVD 应用之一，我们称利用 SVD 的方法为隐性语义索引（LSI）或隐性语义分析（LSA）。</p>
<p><img src="https://i.imgur.com/EPoEEET.png" alt=""></p>
<blockquote>
<p>推荐系统</p>
</blockquote>
<ol>
<li>利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。</li>
<li>再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。)</li>
</ol>
<blockquote>
<p>图像压缩</p>
</blockquote>
<p>例如：<code>32*32=1024 =&gt; 32*2+2*1+32*2=130</code>(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。</p>
<p><img src="https://i.imgur.com/yb6uATG.jpg" alt=""></p>
<hr>
<h1 id="SVD-工作原理"><a href="#SVD-工作原理" class="headerlink" title="SVD 工作原理"></a>SVD 工作原理</h1><h2 id="矩阵分解"><a href="#矩阵分解" class="headerlink" title="矩阵分解"></a>矩阵分解</h2><ul>
<li>矩阵分解是将数据矩阵分解为多个独立部分的过程。</li>
<li>矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式，这种新形式是两个或多个矩阵的乘积。（类似代数中的因数分解）</li>
<li>举例：如何将12分解成两个数的乘积？（1，12）、（2，6）、（3，4）都是合理的答案。</li>
</ul>
<h2 id="SVD-是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术"><a href="#SVD-是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术" class="headerlink" title="SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术"></a>SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术</h2><ul>
<li>SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、∑、V</li>
<li>举例：如果原始矩阵 \(Data_{m*n} \) 是m行n列，<ul>
<li>\(U_{m * k}\) 表示m行k列</li>
<li>\(∑_{k * k}\) 表示k行k列</li>
<li>\(V_{k * n}\) 表示k行n列。</li>
</ul>
</li>
</ul>
<script type="math/tex; mode=display">Data_{m×n} = U_{m×k} * ∑_{k×k} * V_{k×n}</script><p><img src="https://i.imgur.com/fbVpRi1.jpg" alt=""></p>
<p>具体的案例：</p>
<script type="math/tex; mode=display">
\begin{vmatrix}
0 & -1.6 & 0.6 \\
0 & 1.2  & 0.8 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
0.8 & 0.6 & 0 & 0 \\
-0.6 & 0.8 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix} *
\begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{vmatrix} *
\begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}</script><ul>
<li>上述分解中会构建出一个矩阵∑，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，∑的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。</li>
<li>奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 \(Data * Data^T\) 特征值的平方根。</li>
<li>普遍的事实：在某个奇异值的数目(r 个=&gt;奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。</li>
</ul>
<h2 id="SVD-算法特点"><a href="#SVD-算法特点" class="headerlink" title="SVD 算法特点"></a>SVD 算法特点</h2><p>优点：简化数据，去除噪声，优化算法的结果<br>缺点：数据的转换可能难以理解<br>使用的数据类型：数值型数据</p>
<hr>
<h1 id="推荐系统"><a href="#推荐系统" class="headerlink" title="推荐系统"></a>推荐系统</h1><p>推荐系统是利用电子商务网站向客户提供商品信息和建议，帮助用户决定应该购买什么产品，模拟销售人员帮助客户完成购买过程。</p>
<h2 id="推荐系统场景"><a href="#推荐系统场景" class="headerlink" title="推荐系统场景"></a>推荐系统场景</h2><ol>
<li>Amazon 会根据顾客的购买历史向他们推荐物品</li>
<li>Netflix 会向其用户推荐电影</li>
<li>新闻网站会对用户推荐新闻频道</li>
</ol>
<h2 id="推荐系统要点"><a href="#推荐系统要点" class="headerlink" title="推荐系统要点"></a>推荐系统要点</h2><blockquote>
<p>基于协同过滤(collaborative filtering) 的推荐引擎</p>
</blockquote>
<ul>
<li>利用Python 实现 SVD(Numpy 有一个称为 linalg 的线性代数工具箱)</li>
<li>协同过滤：是通过将用户和其他用户的数据进行对比来实现推荐的。</li>
<li>当知道了两个用户或两个物品之间的相似度，我们就可以利用已有的数据来预测未知用户的喜好。</li>
</ul>
<blockquote>
<p>基于物品的相似度和基于用户的相似度：物品比较少则选择物品相似度，用户比较少则选择用户相似度。【矩阵还是小一点好计算】</p>
</blockquote>
<ul>
<li>基于物品的相似度：计算物品之间的距离。【耗时会随物品数量的增加而增加】</li>
<li>由于物品A和物品C 相似度(相关度)很高，所以给买A的人推荐C。</li>
</ul>
<p>用户/物品|物品A|物品B|物品C</p>
<p><img src="https://i.imgur.com/i4FLivm.png" alt=""></p>
<ul>
<li>基于用户的相似度：计算用户之间的距离。【耗时会随用户数量的增加而增加】</li>
<li>由于用户A和用户C 相似度(相关度)很高，所以A和C是兴趣相投的人，对于C买的物品就会推荐给A。</li>
</ul>
<p><img src="https://i.imgur.com/wJ9VndG.png" alt=""></p>
<h2 id="相似度计算"><a href="#相似度计算" class="headerlink" title="相似度计算"></a>相似度计算</h2><blockquote>
<p>inA, inB 对应的是 列向量</p>
</blockquote>
<ol>
<li>欧氏距离：指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。二维或三维中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。<ul>
<li>相似度= 1/(1+欧式距离)</li>
<li><code>相似度= 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))</code></li>
<li>物品对越相似，它们的相似度值就越大。</li>
</ul>
</li>
<li>皮尔逊相关系数：度量的是两个向量之间的相似度。<ul>
<li>相似度= 0.5 + 0.5<em>corrcoef() 【皮尔逊相关系数的取值范围从 -1 到 +1，通过函数0.5 + 0.5\</em>corrcoef()这个函数计算，把值归一化到0到1之间】</li>
<li><code>相似度= 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar = 0)[0][1]</code></li>
<li>相对欧氏距离的优势：它对用户评级的量级并不敏感。</li>
</ul>
</li>
<li>余弦相似度：计算的是两个向量夹角的余弦值。<ul>
<li>余弦值 = (A·B)/(||A||·||B||) 【余弦值的取值范围也在-1到+1之间】</li>
<li>相似度= 0.5 + 0.5*余弦值</li>
<li><code>相似度= 0.5 + 0.5*( float(inA.T*inB) / la.norm(inA)*la.norm(inB))</code></li>
<li>如果夹角为90度，则相似度为0；如果两个向量的方向相同，则相似度为1.0。</li>
</ul>
</li>
</ol>
<blockquote>
<p>代码实现</p>
</blockquote>
<pre>
'''基于欧氏距离相似度计算，假定inA和inB 都是列向量
相似度=1/(1+距离),相似度介于0-1之间
norm：范式计算，默认是2范数，即:sqrt(a^2+b^2+...)
'''
def ecludSim(inA, inB):
    return 1.0/(1.0 + la.norm(inA - inB))


'''皮尔逊相关系数
范围[-1, 1]，归一化后[0, 1]即0.5 + 0.5 *
相对于欧式距离，对具体量级（五星三星都一样）不敏感皮尔逊相关系数
'''
def pearsSim(inA, inB):
    # 检查是否存在3个或更多的点不存在，该函数返回1.0，此时两个向量完全相关。
    if len(inA) < 3:
        return 1.0
    return 0.5 + 0.5 * corrcoef(inA, inB, rowvar=0)[0][1]


'''计算余弦相似度
如果夹角为90度相似度为0；两个向量的方向相同，相似度为1.0
余弦取值-1到1之间，归一化到0与1之间即：相似度=0.5 + 0.5*cosθ
余弦相似度cosθ=(A*B/|A|*|B|)
'''
def cosSim(inA, inB):
    num = float(inA.T*inB) # 矩阵相乘
    denom = la.norm(inA)*la.norm(inB) # 默认是2范数
    return 0.5 + 0.5*(num/denom)
</pre>

<h2 id="推荐系统的评价"><a href="#推荐系统的评价" class="headerlink" title="推荐系统的评价"></a>推荐系统的评价</h2><ul>
<li>采用交叉测试的方法。【拆分数据为训练集和测试集】</li>
<li>推荐引擎评价的指标： 最小均方根误差(Root mean squared error, RMSE)，也称标准误差(Standard error)，就是计算均方误差的平均值然后取其平方根。<ul>
<li>如果RMSE=1, 表示相差1个星级；如果RMSE=2.5, 表示相差2.5个星级。</li>
</ul>
</li>
</ul>
<h2 id="推荐系统原理"><a href="#推荐系统原理" class="headerlink" title="推荐系统原理"></a>推荐系统原理</h2><ul>
<li>推荐系统的工作过程：给定一个用户，系统会为此用户返回N个最好的推荐菜。</li>
<li>实现流程大致如下：<ol>
<li>寻找用户没有评级的菜肴，即在用户-物品矩阵中的0值。</li>
<li>在用户没有评级的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评级分数。这就是说：我们认为用户可能会对物品的打分（这就是相似度计算的初衷）。</li>
<li>对这些物品的评分从高到低进行排序，返回前N个物品。</li>
</ol>
</li>
</ul>
<hr>
<h1 id="项目实战-餐馆菜肴推荐系统"><a href="#项目实战-餐馆菜肴推荐系统" class="headerlink" title="项目实战: 餐馆菜肴推荐系统"></a>项目实战: 餐馆菜肴推荐系统</h1><p>假如一个人在家决定外出吃饭，但是他并不知道该到哪儿去吃饭，该点什么菜。推荐系统可以帮他做到这两点。</p>
<h2 id="收集并准备数据"><a href="#收集并准备数据" class="headerlink" title="收集并准备数据"></a>收集并准备数据</h2><p><img src="https://i.imgur.com/2ah3bx3.jpg" alt=""></p>
<blockquote>
<p>数据准备的代码实现</p>
</blockquote>
<pre>
# 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵
"""
行：代表人
列：代表菜肴名词
值：代表人对菜肴的评分，0表示未评分
"""
def loadExData3():
    return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],
           [1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]
```

## 分析数据

这里不做过多的讨论(当然此处可以对比不同距离之间的差别)，通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。

```python
'''分析 Sigma 的长度取值
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))
</pre>

<h2 id="训练算法-通过调用-recommend-函数进行推荐"><a href="#训练算法-通过调用-recommend-函数进行推荐" class="headerlink" title="训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐"></a>训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐</h2><p>recommend() 会调用 基于物品相似度 或者是 基于SVD，得到推荐的物品评分。</p>
<blockquote>
<p>基于物品相似度</p>
</blockquote>
<p><img src="https://i.imgur.com/LsG6hmy.jpg" alt=""></p>
<blockquote>
<p>基于物品相似度的推荐引擎代码实现</p>
</blockquote>
<pre>
'''基于物品相似度的推荐引擎
descripte：计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分
dataMat         训练数据集
user            用户编号
simMeas         相似度计算方法
item            未评分的物品编号
Returns: ratSimTotal/simTotal  评分（0～5之间的值）
'''
def standEst(dataMat, user, simMeas, item):
    # 得到数据集中的物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 初始化两个评分值
    simTotal = 0.0 ; ratSimTotal = 0.0
    # 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品遍历，并与其他物品进行比较）
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        # 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品
        if userRating == 0: # 终止循环
            continue
        # 寻找两个都评级的物品,变量overLap 给出两个物品中已被评分的元素索引ID
        # logical_and 计算x1和x2元素的真值。
        # print(dataMat[:, item].T.A, ':',dataMat[:, j].T.A )
        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:, item].A > 0, dataMat[:, j].A > 0))[0]
        # 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环
        if len(overLap) == 0:
            similarity = 0
        # 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。
        else:
            similarity = simMeas(dataMat[overLap, item], dataMat[overLap, j])
        # 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积
        # similarity  用户相似度，   userRating 用户评分
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    # 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序
    else:
        return ratSimTotal/simTotal
</pre>

<blockquote>
<p>基于SVD</p>
</blockquote>
<p><img src="https://i.imgur.com/sBd8RsA.png" alt=""></p>
<blockquote>
<p>基于SVD的代码实现</p>
</blockquote>
<pre>
'''分析 Sigma 的长度取值
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))


'''基于SVD的评分估计
Args:
    dataMat         训练数据集
    user            用户编号
    simMeas         相似度计算方法
    item            未评分的物品编号
Returns:
    ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
'''
def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
    # 物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 对数据集进行SVD分解
    simTotal = 0.0 ;  ratSimTotal = 0.0
    # 奇异值分解,只利用90%能量值的奇异值，奇异值以NumPy数组形式保存
    U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)
    # 分析 Sigma 的长度取值
    # analyse_data(Sigma, 20)

    # 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵
    Sig4 = mat(eye(4) * Sigma[: 4]) # eye对角矩阵
    # 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的特征)
    xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I # I 逆矩阵
    # print('dataMat', shape(dataMat))
    # print('U[:, :4]', shape(U[:, :4]))
    # print('Sig4.I', shape(Sig4.I))
    # print('VT[:4, :]', shape(VT[:4, :]))
    # print('xformedItems', shape(xformedItems))

    # 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历
    # 和standEst()函数的for循环一样，这里相似度计算在低维空间下进行的。
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        if userRating == 0 or j == item:
            continue
        # 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数
        similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)
        # for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉
        # print('the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity))
        # 对相似度不断累加求和
        simTotal += similarity
        # 对相似度及对应评分值的乘积求和
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    else:
        # 计算估计评分
        return ratSimTotal/simTotal
</pre>

<h2 id="排序获取最后的推荐结果"><a href="#排序获取最后的推荐结果" class="headerlink" title="排序获取最后的推荐结果"></a>排序获取最后的推荐结果</h2><pre>
'''recommend函数推荐引擎，默认调用standEst函数，产生最高的N个推荐结果
Args:
    dataMat         训练数据集
    user            用户编号
    simMeas         相似度计算方法
    estMethod       使用的推荐算法
Returns:  返回最终 N 个推荐结果
'''
def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
    # 寻找未评级的物品,对给定的用户建立一个未评分的物品列表
    unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1] # .A: 矩阵转数组
    # 如果不存在未评分物品，那么就退出函数
    if len(unratedItems) == 0:
        return 'you rated everything'
    # 物品的编号和评分值
    itemScores = []
    # 在未评分物品上进行循环
    for item in unratedItems:
        # 获取 item 该物品的评分
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
        itemScores.append((item, estimatedScore))
    # 按照评分得分 进行逆排序，获取前N个未评级物品进行推荐
    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]
</pre>

<h2 id="测试和项目调用"><a href="#测试和项目调用" class="headerlink" title="测试和项目调用"></a>测试和项目调用</h2><blockquote>
<p>测试代码</p>
</blockquote>
<pre>
# 计算相似度的方法
myMat = mat(loadExData3())
# 计算相似度的第一种方式
# print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst))
# 计算相似度的第二种方式
# print(recommend(myMat, 1, estMethod=svdEst, simMeas=pearsSim))

# 默认推荐（菜馆菜肴推荐示例）
print(recommend(myMat, 2))
</pre>

<blockquote>
<p>运行结果</p>
</blockquote>
<pre><code>菜馆菜肴推荐结果： [(3, 4.0), (5, 4.0), (6, 4.0)]

***Repl Closed***
</code></pre><p>分析结果，我们不难发现，分别对3烤牛肉，5鲁宾三明治、6印度烤鸡给我4星好评，推荐给我们的用户。</p>
<h2 id="要点补充"><a href="#要点补充" class="headerlink" title="要点补充"></a>要点补充</h2><blockquote>
<p>基于内容(content-based)的推荐</p>
</blockquote>
<ol>
<li>通过各种标签来标记菜肴</li>
<li>将这些属性作为相似度计算所需要的数据</li>
<li>这就是：基于内容的推荐。</li>
</ol>
<blockquote>
<p>构建推荐引擎面临的挑战</p>
</blockquote>
<p>问题</p>
<ul>
<li>1）在大规模的数据集上，SVD分解会降低程序的速度</li>
<li>2）存在其他很多规模扩展性的挑战性问题，比如矩阵的表示方法和计算相似度得分消耗资源。</li>
<li>3）如何在缺乏数据时给出好的推荐-称为冷启动【简单说：用户不会喜欢一个无效的物品，而用户不喜欢的物品又无效】</li>
</ul>
<p>建议</p>
<ul>
<li>1）在大型系统中，SVD分解(可以在程序调入时运行一次)每天运行一次或者其频率更低，并且还要离线运行。</li>
<li>2）在实际中，另一个普遍的做法就是离线计算并保存相似度得分。(物品相似度可能被用户重复的调用)</li>
<li>3）冷启动问题，解决方案就是将推荐看成是搜索问题，通过各种标签／属性特征进行<code>基于内容的推荐</code>。</li>
</ul>
<hr>
<h1 id="项目案例-基于SVD的图像压缩"><a href="#项目案例-基于SVD的图像压缩" class="headerlink" title="项目案例: 基于SVD的图像压缩"></a>项目案例: 基于SVD的图像压缩</h1><h2 id="收集并准备数据-1"><a href="#收集并准备数据-1" class="headerlink" title="收集并准备数据"></a>收集并准备数据</h2><p>将文本数据转化为矩阵</p>
<pre>
'''图像压缩函数'''
def imgLoadData(filename):
    myl = []
    for line in open(filename).readlines():
        newRow = []
        for i in range(32):
            newRow.append(int(line[i]))
        myl.append(newRow)
    # 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵
    myMat = mat(myl)
    return myMat
</pre>

<h2 id="分析数据-分析Sigma的长度个数"><a href="#分析数据-分析Sigma的长度个数" class="headerlink" title="分析数据: 分析Sigma的长度个数"></a>分析数据: 分析Sigma的长度个数</h2><p>通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。</p>
<pre>
'''分析 Sigma 的长度取值
根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数
通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
'''
def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        print('主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '.2f')))
</pre>

<h2 id="使用算法-对比使用-SVD-前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写"><a href="#使用算法-对比使用-SVD-前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写" class="headerlink" title="使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写"></a>使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写</h2><p>例如：<code>32*32=1024 =&gt; 32*2+2*1+32*2=130</code>(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。</p>
<pre>
'''打印矩阵
由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0
'''
def printMat(inMat, thresh=0.8):
    for i in range(32):
        for k in range(32):
            if float(inMat[i, k]) > thresh:
                print(1)
            else:
                print(0)
        print('')


'''实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
Args:
    numSV       Sigma长度
    thresh      判断的阈值
'''
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
    # 构建一个列表
    myMat = imgLoadData('./0_5.txt')

    print("****original matrix****")
    # 对原始图像进行SVD分解并重构图像e
    printMat(myMat, thresh)

    # 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现
    # Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。
    U, Sigma, VT = la.svd(myMat)
    # SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
    # for k in range(numSV):
    #     SigRecon[k, k] = Sigma[k]

    # 分析插入的 Sigma 长度
    # analyse_data(Sigma, 20)

    SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])
    reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]
    print("****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV)
    printMat(reconMat, thresh)
</pre>


<h2 id="参考文献"><a href="#参考文献" class="headerlink" title="参考文献"></a>参考文献</h2><ol>
<li><a href="https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3" target="_blank" rel="noopener">奇异值分解</a></li>
<li><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/" target="_blank" rel="noopener">中文维基百科</a></li>
<li><a href="https://github.com/BaiNingchao/MachineLearning-1" target="_blank" rel="noopener">GitHub</a></li>
<li>图书：《机器学习实战》</li>
<li><a href="https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%A4%84%E7%90%86%E7%90%86%E8%AE%BA%E4%B8%8E%E5%AE%9E%E6%88%98" target="_blank" rel="noopener">图书：《自然语言处理理论与实战》</a></li>
<li><a href="https://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html" target="_blank" rel="noopener">强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用</a></li>
<li><a href="https://blog.csdn.net/u010099080/article/details/68060274" target="_blank" rel="noopener">奇异值分解 SVD 的数学解释</a></li>
</ol>
<h2 id="完整代码下载"><a href="#完整代码下载" class="headerlink" title="完整代码下载"></a>完整代码下载</h2><blockquote>
<p>源码请进【机器学习和自然语言QQ群：436303759】文件下载：<a target="_blank" href="http://shang.qq.com/wpa/qunwpa?idkey=ef3bbb679b06ac59b136c57ba9e7935ff9d3b10faeabde6e4efcafe523bbbf4d"><img border="0" src="http://pub.idqqimg.com/wpa/images/group.png" alt="自然语言处理和机器学习技术QQ交流" title="自然语言处理和机器学习技术交流"></a></p>
</blockquote>
<p><img src="https://i.imgur.com/kIFJ33g.jpg" alt=""></p>
<h2 id="作者声明"><a href="#作者声明" class="headerlink" title="作者声明"></a>作者声明</h2><blockquote>
<p>本文版权归作者所有，旨在技术交流使用。未经作者同意禁止转载，转载后需在文章页面明显位置给出原文连接，否则相关责任自行承担。</p>
</blockquote>

      
    </div>

    

    
    
    

    
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                <i class="fa fa-chevron-left"></i> 编程数学之相关与回归
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                一步步教你轻松学支持向量机SVM算法之理论篇1 <i class="fa fa-chevron-right"></i>
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                alt="白宁超" />
            
              <p class="site-author-name" itemprop="name">白宁超</p>
              <p class="site-description motion-element" itemprop="description">本站主要研究深度学习、机器学习、自然语言处理等前沿技术。ML&NLP交流群：436303759 <span><a target="_blank" href="http://shang.qq.com/wpa/qunwpa?idkey=ef3bbb679b06ac59b136c57ba9e7935ff9d3b10faeabde6e4efcafe523bbbf4d"><img border="0" src="http://pub.idqqimg.com/wpa/images/group.png" alt="自然语言处理和机器学习技术QQ交流：436303759 " title="自然语言处理和机器学习技术交流"></a></span></p>
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                  <a href="https://mp.weixin.qq.com/s/s97I4gtEJIt5rMivWMkPkQ" target="_blank" title="微信公众号" rel="external nofollow"><i class="fa fa-fw fa-weixin"></i>微信公众号</a>
                  
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              <div class="post-toc-content"><ol class="nav"><li class="nav-item nav-level-1"><a class="nav-link" href="#奇异值分解原理"><span class="nav-number">1.</span> <span class="nav-text">奇异值分解原理</span></a><ol class="nav-child"><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#什么是奇异值分解-SVD）"><span class="nav-number">1.1.</span> <span class="nav-text">什么是奇异值分解(SVD）</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#矩阵知识"><span class="nav-number">1.2.</span> <span class="nav-text">矩阵知识</span></a></li></ol></li><li class="nav-item nav-level-1"><a class="nav-link" href="#SVD-的计算方法"><span class="nav-number">2.</span> <span class="nav-text">SVD 的计算方法</span></a><ol class="nav-child"><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#SVD-与特征值"><span class="nav-number">2.1.</span> <span class="nav-text">SVD 与特征值</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#如何计算-SVD"><span class="nav-number">2.2.</span> <span class="nav-text">如何计算 SVD</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#实际计算看看"><span class="nav-number">2.3.</span> <span class="nav-text">实际计算看看</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#几何上的直观解释"><span class="nav-number">2.4.</span> <span class="nav-text">几何上的直观解释</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#SVD-场景"><span class="nav-number">2.5.</span> <span class="nav-text">SVD 场景</span></a></li></ol></li><li class="nav-item nav-level-1"><a class="nav-link" href="#SVD-工作原理"><span class="nav-number">3.</span> <span class="nav-text">SVD 工作原理</span></a><ol class="nav-child"><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#矩阵分解"><span class="nav-number">3.1.</span> <span class="nav-text">矩阵分解</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#SVD-是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术"><span class="nav-number">3.2.</span> <span class="nav-text">SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#SVD-算法特点"><span class="nav-number">3.3.</span> <span class="nav-text">SVD 算法特点</span></a></li></ol></li><li class="nav-item nav-level-1"><a class="nav-link" href="#推荐系统"><span class="nav-number">4.</span> <span class="nav-text">推荐系统</span></a><ol class="nav-child"><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#推荐系统场景"><span class="nav-number">4.1.</span> <span class="nav-text">推荐系统场景</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#推荐系统要点"><span class="nav-number">4.2.</span> <span class="nav-text">推荐系统要点</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#相似度计算"><span class="nav-number">4.3.</span> <span class="nav-text">相似度计算</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#推荐系统的评价"><span class="nav-number">4.4.</span> <span class="nav-text">推荐系统的评价</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#推荐系统原理"><span class="nav-number">4.5.</span> <span class="nav-text">推荐系统原理</span></a></li></ol></li><li class="nav-item nav-level-1"><a class="nav-link" href="#项目实战-餐馆菜肴推荐系统"><span class="nav-number">5.</span> <span class="nav-text">项目实战: 餐馆菜肴推荐系统</span></a><ol class="nav-child"><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#收集并准备数据"><span class="nav-number">5.1.</span> <span class="nav-text">收集并准备数据</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#训练算法-通过调用-recommend-函数进行推荐"><span class="nav-number">5.2.</span> <span class="nav-text">训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#排序获取最后的推荐结果"><span class="nav-number">5.3.</span> <span class="nav-text">排序获取最后的推荐结果</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#测试和项目调用"><span class="nav-number">5.4.</span> <span class="nav-text">测试和项目调用</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#要点补充"><span class="nav-number">5.5.</span> <span class="nav-text">要点补充</span></a></li></ol></li><li class="nav-item nav-level-1"><a class="nav-link" href="#项目案例-基于SVD的图像压缩"><span class="nav-number">6.</span> <span class="nav-text">项目案例: 基于SVD的图像压缩</span></a><ol class="nav-child"><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#收集并准备数据-1"><span class="nav-number">6.1.</span> <span class="nav-text">收集并准备数据</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#分析数据-分析Sigma的长度个数"><span class="nav-number">6.2.</span> <span class="nav-text">分析数据: 分析Sigma的长度个数</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#使用算法-对比使用-SVD-前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写"><span class="nav-number">6.3.</span> <span class="nav-text">使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#参考文献"><span class="nav-number">6.4.</span> <span class="nav-text">参考文献</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#完整代码下载"><span class="nav-number">6.5.</span> <span class="nav-text">完整代码下载</span></a></li><li class="nav-item nav-level-2"><a class="nav-link" href="#作者声明"><span class="nav-number">6.6.</span> <span class="nav-text">作者声明</span></a></li></ol></li></ol></div>
            

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<div class="copyright">&copy; <span itemprop="copyrightYear">2019</span>
  <span class="with-love" id="animate">
    <i class="fa fa-user"></i>
  </span>
  <span class="author" itemprop="copyrightHolder">白宁超</span>

  

  
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  if (Object.prototype.toString.call(window.Promise) !== '[object Function]') {
    window.Promise = null;
  }
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    <script type="text/javascript">
      window.livereOptions = {
        refer: '2018/10/11/一步步教你轻松学奇异值分解SVD降维算法/'
      };
      (function(d, s) {
        var j, e = d.getElementsByTagName(s)[0];
        if (typeof LivereTower === 'function') { return; }
        j = d.createElement(s);
        j.src = 'https://cdn-city.livere.com/js/embed.dist.js';
        j.async = true;
        e.parentNode.insertBefore(j, e);
      })(document, 'script');
    </script>
  










  

  <script type="text/javascript">
    // Popup Window;
    var isfetched = false;
    var isXml = true;
    // Search DB path;
    var search_path = "search.xml";
    if (search_path.length === 0) {
      search_path = "search.xml";
    } else if (/json$/i.test(search_path)) {
      isXml = false;
    }
    var path = "/" + search_path;
    // monitor main search box;

    var onPopupClose = function (e) {
      $('.popup').hide();
      $('#local-search-input').val('');
      $('.search-result-list').remove();
      $('#no-result').remove();
      $(".local-search-pop-overlay").remove();
      $('body').css('overflow', '');
    }

    function proceedsearch() {
      $("body")
        .append('<div class="search-popup-overlay local-search-pop-overlay"></div>')
        .css('overflow', 'hidden');
      $('.search-popup-overlay').click(onPopupClose);
      $('.popup').toggle();
      var $localSearchInput = $('#local-search-input');
      $localSearchInput.attr("autocapitalize", "none");
      $localSearchInput.attr("autocorrect", "off");
      $localSearchInput.focus();
    }

    // search function;
    var searchFunc = function(path, search_id, content_id) {
      'use strict';

      // start loading animation
      $("body")
        .append('<div class="search-popup-overlay local-search-pop-overlay">' +
          '<div id="search-loading-icon">' +
          '<i class="fa fa-spinner fa-pulse fa-5x fa-fw"></i>' +
          '</div>' +
          '</div>')
        .css('overflow', 'hidden');
      $("#search-loading-icon").css('margin', '20% auto 0 auto').css('text-align', 'center');

      

      $.ajax({
        url: path,
        dataType: isXml ? "xml" : "json",
        async: true,
        success: function(res) {
          // get the contents from search data
          isfetched = true;
          $('.popup').detach().appendTo('.header-inner');
          var datas = isXml ? $("entry", res).map(function() {
            return {
              title: $("title", this).text(),
              content: $("content",this).text(),
              url: $("url" , this).text()
            };
          }).get() : res;
          var input = document.getElementById(search_id);
          var resultContent = document.getElementById(content_id);
          var inputEventFunction = function() {
            var searchText = input.value.trim().toLowerCase();
            var keywords = searchText.split(/[\s\-]+/);
            if (keywords.length > 1) {
              keywords.push(searchText);
            }
            var resultItems = [];
            if (searchText.length > 0) {
              // perform local searching
              datas.forEach(function(data) {
                var isMatch = false;
                var hitCount = 0;
                var searchTextCount = 0;
                var title = data.title.trim();
                var titleInLowerCase = title.toLowerCase();
                var content = data.content.trim().replace(/<[^>]+>/g,"");
                
                var contentInLowerCase = content.toLowerCase();
                var articleUrl = decodeURIComponent(data.url);
                var indexOfTitle = [];
                var indexOfContent = [];
                // only match articles with not empty titles
                if(title != '') {
                  keywords.forEach(function(keyword) {
                    function getIndexByWord(word, text, caseSensitive) {
                      var wordLen = word.length;
                      if (wordLen === 0) {
                        return [];
                      }
                      var startPosition = 0, position = [], index = [];
                      if (!caseSensitive) {
                        text = text.toLowerCase();
                        word = word.toLowerCase();
                      }
                      while ((position = text.indexOf(word, startPosition)) > -1) {
                        index.push({position: position, word: word});
                        startPosition = position + wordLen;
                      }
                      return index;
                    }

                    indexOfTitle = indexOfTitle.concat(getIndexByWord(keyword, titleInLowerCase, false));
                    indexOfContent = indexOfContent.concat(getIndexByWord(keyword, contentInLowerCase, false));
                  });
                  if (indexOfTitle.length > 0 || indexOfContent.length > 0) {
                    isMatch = true;
                    hitCount = indexOfTitle.length + indexOfContent.length;
                  }
                }

                // show search results

                if (isMatch) {
                  // sort index by position of keyword

                  [indexOfTitle, indexOfContent].forEach(function (index) {
                    index.sort(function (itemLeft, itemRight) {
                      if (itemRight.position !== itemLeft.position) {
                        return itemRight.position - itemLeft.position;
                      } else {
                        return itemLeft.word.length - itemRight.word.length;
                      }
                    });
                  });

                  // merge hits into slices

                  function mergeIntoSlice(text, start, end, index) {
                    var item = index[index.length - 1];
                    var position = item.position;
                    var word = item.word;
                    var hits = [];
                    var searchTextCountInSlice = 0;
                    while (position + word.length <= end && index.length != 0) {
                      if (word === searchText) {
                        searchTextCountInSlice++;
                      }
                      hits.push({position: position, length: word.length});
                      var wordEnd = position + word.length;

                      // move to next position of hit

                      index.pop();
                      while (index.length != 0) {
                        item = index[index.length - 1];
                        position = item.position;
                        word = item.word;
                        if (wordEnd > position) {
                          index.pop();
                        } else {
                          break;
                        }
                      }
                    }
                    searchTextCount += searchTextCountInSlice;
                    return {
                      hits: hits,
                      start: start,
                      end: end,
                      searchTextCount: searchTextCountInSlice
                    };
                  }

                  var slicesOfTitle = [];
                  if (indexOfTitle.length != 0) {
                    slicesOfTitle.push(mergeIntoSlice(title, 0, title.length, indexOfTitle));
                  }

                  var slicesOfContent = [];
                  while (indexOfContent.length != 0) {
                    var item = indexOfContent[indexOfContent.length - 1];
                    var position = item.position;
                    var word = item.word;
                    // cut out 100 characters
                    var start = position - 20;
                    var end = position + 80;
                    if(start < 0){
                      start = 0;
                    }
                    if (end < position + word.length) {
                      end = position + word.length;
                    }
                    if(end > content.length){
                      end = content.length;
                    }
                    slicesOfContent.push(mergeIntoSlice(content, start, end, indexOfContent));
                  }

                  // sort slices in content by search text's count and hits' count

                  slicesOfContent.sort(function (sliceLeft, sliceRight) {
                    if (sliceLeft.searchTextCount !== sliceRight.searchTextCount) {
                      return sliceRight.searchTextCount - sliceLeft.searchTextCount;
                    } else if (sliceLeft.hits.length !== sliceRight.hits.length) {
                      return sliceRight.hits.length - sliceLeft.hits.length;
                    } else {
                      return sliceLeft.start - sliceRight.start;
                    }
                  });

                  // select top N slices in content

                  var upperBound = parseInt('1');
                  if (upperBound >= 0) {
                    slicesOfContent = slicesOfContent.slice(0, upperBound);
                  }

                  // highlight title and content

                  function highlightKeyword(text, slice) {
                    var result = '';
                    var prevEnd = slice.start;
                    slice.hits.forEach(function (hit) {
                      result += text.substring(prevEnd, hit.position);
                      var end = hit.position + hit.length;
                      result += '<b class="search-keyword">' + text.substring(hit.position, end) + '</b>';
                      prevEnd = end;
                    });
                    result += text.substring(prevEnd, slice.end);
                    return result;
                  }

                  var resultItem = '';

                  if (slicesOfTitle.length != 0) {
                    resultItem += "<li><a href='" + articleUrl + "' class='search-result-title'>" + highlightKeyword(title, slicesOfTitle[0]) + "</a>";
                  } else {
                    resultItem += "<li><a href='" + articleUrl + "' class='search-result-title'>" + title + "</a>";
                  }

                  slicesOfContent.forEach(function (slice) {
                    resultItem += "<a href='" + articleUrl + "'>" +
                      "<p class=\"search-result\">" + highlightKeyword(content, slice) +
                      "...</p>" + "</a>";
                  });

                  resultItem += "</li>";
                  resultItems.push({
                    item: resultItem,
                    searchTextCount: searchTextCount,
                    hitCount: hitCount,
                    id: resultItems.length
                  });
                }
              })
            };
            if (keywords.length === 1 && keywords[0] === "") {
              resultContent.innerHTML = '<div id="no-result"><i class="fa fa-search fa-5x" /></div>'
            } else if (resultItems.length === 0) {
              resultContent.innerHTML = '<div id="no-result"><i class="fa fa-frown-o fa-5x" /></div>'
            } else {
              resultItems.sort(function (resultLeft, resultRight) {
                if (resultLeft.searchTextCount !== resultRight.searchTextCount) {
                  return resultRight.searchTextCount - resultLeft.searchTextCount;
                } else if (resultLeft.hitCount !== resultRight.hitCount) {
                  return resultRight.hitCount - resultLeft.hitCount;
                } else {
                  return resultRight.id - resultLeft.id;
                }
              });
              var searchResultList = '<ul class=\"search-result-list\">';
              resultItems.forEach(function (result) {
                searchResultList += result.item;
              })
              searchResultList += "</ul>";
              resultContent.innerHTML = searchResultList;
            }
          }

          if ('auto' === 'auto') {
            input.addEventListener('input', inputEventFunction);
          } else {
            $('.search-icon').click(inputEventFunction);
            input.addEventListener('keypress', function (event) {
              if (event.keyCode === 13) {
                inputEventFunction();
              }
            });
          }

          // remove loading animation
          $(".local-search-pop-overlay").remove();
          $('body').css('overflow', '');

          proceedsearch();
        }
      });
    }

    // handle and trigger popup window;
    $('.popup-trigger').click(function(e) {
      e.stopPropagation();
      if (isfetched === false) {
        searchFunc(path, 'local-search-input', 'local-search-result');
      } else {
        proceedsearch();
      };
    });

    $('.popup-btn-close').click(onPopupClose);
    $('.popup').click(function(e){
      e.stopPropagation();
    });
    $(document).on('keyup', function (event) {
      var shouldDismissSearchPopup = event.which === 27 &&
        $('.search-popup').is(':visible');
      if (shouldDismissSearchPopup) {
        onPopupClose();
      }
    });
  </script>





  

  

  
<script>
(function(){
    var bp = document.createElement('script');
    var curProtocol = window.location.protocol.split(':')[0];
    if (curProtocol === 'https') {
        bp.src = 'https://zz.bdstatic.com/linksubmit/push.js';        
    }
    else {
        bp.src = 'http://push.zhanzhang.baidu.com/push.js';
    }
    var s = document.getElementsByTagName("script")[0];
    s.parentNode.insertBefore(bp, s);
})();
</script>


  
  

  
  

  
    
      <script type="text/x-mathjax-config">
    MathJax.Hub.Config({
      tex2jax: {
        inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"]  ],
        processEscapes: true,
        skipTags: ['script', 'noscript', 'style', 'textarea', 'pre', 'code']
      },
      TeX: {equationNumbers: { autoNumber: "AMS" }}
    });
</script>

<script type="text/x-mathjax-config">
    MathJax.Hub.Queue(function() {
      var all = MathJax.Hub.getAllJax(), i;
        for (i=0; i < all.length; i += 1) {
          all[i].SourceElement().parentNode.className += ' has-jax';
        }
    });
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  <script>
    
      pbOptions = {};
      
          pbOptions.iconStyle = "box";
      
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      new needShareButton('#needsharebutton-postbottom', pbOptions);
    
    
  </script>

  

  

  

  

  

  

  <!-- 页面点击小红心 -->
	<script type="text/javascript" src="../js/src/love.js"></script><!-- hexo-inject:begin --><!-- Begin: Injected MathJax -->
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  MathJax.Hub.Queue(function() {
    var all = MathJax.Hub.getAllJax(), i;
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      all[i].SourceElement().parentNode.className += ' has-jax';
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<!-- End: Injected MathJax -->
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</html>
